Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур дистанционного этапа

При каких натуральных $n$, больших 5, клетчатый квадрат размером $n\times n$ клеточек можно без остатка разрезать на прямоугольники из двух клеток и кресты из пяти клеток так, чтобы получились фигуры обоих этих видов? Крест из пяти клеток изображен на рисунке справа. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Пример для 6 на 6 и доказываешь что n при четном только возможно

хорош, самое подробное, точное, понятное решение что я видел, вообще не придраться, где научился так расписывать?

Не спрашивали

Допустим для нечетных n возможно, тогда сделаем шахматная раскраску

Пусть в ней у нас будет n белых и n+1 чёрных клеток

Очевидно что прямоугольник 2×1 содержит 1 белую и 1 чёрную

А 2 наша фигура 4 одинаковых и 1 другого цвета

Тогда допустим такая расстановка существует

Для начала поставим все кресты а затем уже прямоугольники

Также заметим что когда мы начнём ставить прямоугольники 2×1 количество чёрных и белых клеток должно быть равно т.к в этих фигурка равное количество белых и чёрных клеток

Т.к у нас должен быть хотябы 1 крест у нас уже не будет равное кол чёрных и белых клеток

Очевидно можно Заметить что как бы мы кресты не ставили оставшиеся кол белых и чёрных клеток никогда не будет равно

Значит для нечетных n это не возможно

Теперь просто покажем расстановку для квадрата 6×6 просто ставим 2 креста рядом чтоб одна сторона клетки у них была общая и заполняем остальное пространство прямоугольникаит 2×1 ( очевидно что можно сделать)

Значит для 6 это верно Тогда для 8×8 сделаем такую же расстановку как и для 6×6 затем не заполненные клетки заполним прямоугольниками очевидно что можно

Значит для любого чёрного верно

Как вы докажите что как бы мы не ставили кресты никогда не будет равного количество белых и чёрных?

Ладно, понял