Областная олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс

Дан треугольник $ABC$, в котором $BC = 2AB$, а точка $I$ — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла $\angle BAC$ пересекает прямую $BC$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YI$ проходит через середину отрезка $AC.$ ( Зауытхан А. )

Комментарий/решение

Назовем пересечение $YI$ и $AC$ как $M$.

Тогда пусть $\angle{AYM}=x;\angle{MYC}=y;\angle{IAC}=\angle{IAB}=a;\angle{ICA}=\angle{ICB}=c$

По угловой форме теоремы Чевы для треугольника $AYC$ получим(чевианы пересекаются в $I$), что $\dfrac{Sin90°}{Sina} × \dfrac{Siny}{Sinx} × \dfrac{Sinc}{Sinc}=1 \Rightarrow \dfrac{Siny}{Sinx}=Sina$

По теорема синусов для $\triangle{ABC}$ получим $\dfrac{AB}{Sin2c}=\dfrac{BC}{Sin2a}$

Из условия задачи следует, что $1=\dfrac{2Sin2c}{Sin2a}$

По теореме синусов для треугольников $AYM;MYC$ получим, что

$\dfrac{AM}{Sinx}=\dfrac{YM}{Sin(90°+a)}$ и $\dfrac{MC}{Siny}=\dfrac{YM}{Sin2c}$

Тогда $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{SinxSin2c}{Sin(90°+a)Siny}=\dfrac{SinxSin2c}{CosaSiny}$ Зная чему равен $\dfrac{Siny}{Sinx}$ легко сделать вывод, что $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{Sin2c}{SinaCosa}=\dfrac{Sin2c}{\dfrac{Sin2a}{2}}=\dfrac{2Sin2c}{Sin2a}=1$ и получаем требуемое

Пусть $D,E$ - основания биссектрис углов $A$ и $B$ исходного треугольника, $YI\cap AC=X$. Тогда:

$$-1=(Y,D;B,C)\stackrel {I}{=} (X, A;E, C), \frac{AE}{AC}=\frac{XE}{XC}=\frac{1}{3}$$

$$EC=XE+XC=4XE=2AE\Rightarrow AX=XC.$$