қазақша
русскийЗауытхан А.
Задача №1. Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Касательная прямая в точке $H$ к описанной окружности треугольника $BHC$ пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ABC$ и $APQ$ вторично пересекаются в точке $K$. Касательные в точках $A$ и $K$ к описанной окружности треугольника $APQ$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что прямая $TH$ проходит через середину отрезка $BC$. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №2. Дан граф $G$, вершинами которого являются 2000 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. 1000 из этих точек покрашено в черный цвет, а остальные 1000 в красный. Оказалось, что существуют 100 красных точек, которые образуют такой выпуклый 100-угольник, что все остальные 1900 точек лежат внутри этого 100-угольника. Докажите, что можно провести несколько отрезков с одноцветными концами так, чтобы любой отрезок, соединяющие красные точки не пересекался с любым отрезком, соединяющим черные точки, и при этом из любой вершины $G$ можно было добраться до любой вершины того же цвета (ребра графа — это проведенные отрезки). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. Дан граф $G$, вершинами которого являются 2000 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. 1000 из этих точек покрашено в черный цвет, а остальные 1000 в красный. Оказалось, что существуют 100 красных точек, которые образуют такой выпуклый 100-угольник, что все остальные 1900 точек лежат внутри этого 100-угольника. Докажите, что можно провести несколько отрезков с одноцветными концами так, чтобы любой отрезок, соединяющие красные точки не пересекался с любым отрезком, соединяющим черные точки, и при этом из любой вершины $G$ можно было добраться до любой вершины того же цвета (ребра графа — это проведенные отрезки). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4. Даны положительные действительные числа $a,b,c$ такие, что $abc=1$. Докажите, что \[\left(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\right)+2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+(a+b+c) \ge 4(ab+bc+ca).\] ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(7) олимпиада
Задача №5. Жибек загадывает два различных действительных числа $a$ и $b$, а Ержан пытается их найти. За один ход Ержан придумывает многочлен $P(x)$ степени $2024$ с действительными коэффициентами, после чего Жибек сообщает ему значение $P(a) - P(b)$. Докажите, что за три хода Ержан сможет гарантированно найти числа $a$ и $b$. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №6. Дан треугольник $ABC$, в котором $BC = 2AB$, а точка $I$ — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла $\angle BAC$ пересекает прямую $BC$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YI$ проходит через середину отрезка $AC.$ ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №7. Даны положительные действительные числа $a,b,c$ такие, что $abc=1$. Докажите, что \[\left(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\right)+2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+(a+b+c) \ge 4(ab+bc+ca).\] ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №8. Найдите все функции $f:N\rightarrow N$ такие, что $f_{m}(n) = f_{m-n}(m)$ при всех натуральных $m\ge n \ge 2024.$ ($N$ — множество натуральных чисел, $f_{0}(k) = k$ и $f_{l}(k) = f(f_{l-1}(k))$ при всех целых $l\ge 1$.) ( Зауытхан А. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №9. Дан треугольник $ABC$, в котором $BC = 2AB$, а точка $I$ — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла $\angle BAC$ пересекает прямую $BC$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YI$ проходит через середину отрезка $AC.$ ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №10. Неотрицательные действительные числа $a,b,c,d$ таковы, что $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a) \ge a^2+b^2+c^2+d^2 = 12$. Докажите, что $abcd<1,\!61$. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №11. Окружность $\omega$ с центром в точке $I$, вписанная в неравнобедренный треугольник $ABC$, касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ABC$ и $AEF$ вторично пересекаются в точке $K.$ Прямые $EF$ и $AK$ пересекаются в точке $X$ и пересекают прямую $BC$ в точках $Y$ и $Z$ соответственно. Касательные прямые к $\omega$, отличные от $BC$, проходящие через точки $Y$ и $Z$, касаются $\omega$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть прямые $AP$ и $KQ$ пересекаются в точке $R$. Докажите, что если $M$ — середина отрезка $YZ,$ то $IR\perp XM$. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №12. Дано целое число $n>1$. Доску $n\times n$ раскрасили шахматным образом в белый и черный цвет. Фигурой назовем любой непустой набор различных клеток доски. Фигуры $F_1$ и $F_2$ назовем подобными, если $F_1$ можно получить из $F_2$ с помощью поворота относительно центра доски на угол кратный $90^\circ$ и параллельного переноса. (Любая фигура подобна самой себе.) Фигуру $F$ назовем связной, если для любых клеток $a,b\in F$ найдется последовательность клеток $c_1,\ldots,c_m\in F$ такая, что $c_1 = a$, $c_m = b$, а также $c_i$ и $c_{i+1}$ имеют общую сторону для каждого $1\le i\le m - 1$. Найдите наибольшее возможное значение $k$ такое, что для любой связной фигуры $F$, состоящей из $k$ клеток, найдутся фигуры $F_1,F_2$ подобные $F$, что в $F_1$ белых клеток больше, чем черных, а в $F_2$ белых клеток меньше, чем черных. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №13. Окружность $\omega$ с центром в точке $I$, вписанная в неравнобедренный треугольник $ABC$, касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ABC$ и $AEF$ вторично пересекаются в точке $K.$ Прямые $EF$ и $AK$ пересекаются в точке $X$ и пересекают прямую $BC$ в точках $Y$ и $Z$ соответственно. Касательные прямые к $\omega$, отличные от $BC$, проходящие через точки $Y$ и $Z$, касаются $\omega$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть прямые $AP$ и $KQ$ пересекаются в точке $R$. Докажите, что если $M$ — середина отрезка $YZ,$ то $IR\perp XM$. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №14. Игроки $A$ и $B$ играют в следующую игру на координатной плоскости. Игрок $A$ прячет орешек в одной из точек с целочисленными координатами, а игрок $B$ пытается найти этот спрятанный орешек. За один ход $B$ может выбрать три различные точки с целочисленными координатами, затем $A$ говорит, лежат ли эти три точки вместе с точкой орешка на одной окружности или нет. Сможет ли $B$ гарантированно найти орешек за конечное количество ходов? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №15. Игроки $A$ и $B$ играют в следующую игру на координатной плоскости. Игрок $A$ прячет орешек в одной из точек с целочисленными координатами, а игрок $B$ пытается найти этот спрятанный орешек. За один ход $B$ может выбрать три различные точки с целочисленными координатами, затем $A$ говорит, лежат ли эти три точки вместе с точкой орешка на одной окружности или нет. Сможет ли $B$ гарантированно найти орешек за конечное количество ходов? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада