Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс

Окружность $\omega$ с центром в точке $I$, вписанная в неравнобедренный треугольник $ABC$, касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ABC$ и $AEF$ вторично пересекаются в точке $K.$ Прямые $EF$ и $AK$ пересекаются в точке $X$ и пересекают прямую $BC$ в точках $Y$ и $Z$ соответственно. Касательные прямые к $\omega$, отличные от $BC$, проходящие через точки $Y$ и $Z$, касаются $\omega$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть прямые $AP$ и $KQ$ пересекаются в точке $R$. Докажите, что если $M$ — середина отрезка $YZ,$ то $IR\perp XM$. ( Зауытхан А. )

Комментарий/решение

Легко увидеть что $(PDFE)-$гармонический четырехугольник значит $A-P-D$.

Заметим что $K,Q,D$ лежат на окружности с диаметром $ZI$ значит $(ZKQID)$.

Отсюда $-1=(Z,Q,I,D)\stackrel{A}{=}(A,T,R,D)$ где $KI \cap AD=T$ теперь спроецируем направления $-1=(XY,XZ,XM,X∞_{BC})$ через $I$ на $AD$ предварительно повернув каждое на $90^\circ$ тогда $XY \rightarrow IA$, $XZ \rightarrow IK$, $X∞_{BC} \rightarrow ID$ значит в силу гармоничности $XM \rightarrow IR$ из чего и следует искомая перпендикулярность.

Примечание: из этого решения видно что задача верна для любой точки $K$ на $(AEF)$.

Хорош

учился у лучших)

Точка $T$ это что?