20-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2024 год

Учитель выдал детям 10 различных положительных чисел. Серёжа вычислил все 45 их попарных сумм; среди них нашлось пять равных чисел. Петя вычислил все 45 их попарных произведений. Какое наибольшее количество из них могли оказаться равными? ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Обозначим наши числа как$:$

$a_1, a_2,\dots a_{10}$

Б.О.О. $a_1 < a_2 \dots < a_{10}$

\[ \]

$a_i + a_j \ne a_l + a_j \rightarrow $ каждая пара сумм уникальна

Значит: $a_1 + a_{10} = a_2 + a_9 = \dots = a_5+ a_6$

\[ \]

Допустим $k \geq 5$

Тогда найдутся 5 пар такие что$:$

$a_ia_j = a_ka_m$

Снова использую уникальность каждой пары:

$a_1a_{10}= a_2a_9 =\dots a_5a_6$

\[ \]

$(a_{10}+a_1)^2 = (a_9 + a_2)^2 \rightarrow (a_{10}+a_1)^2 -4a_{10}a_1 = (a_9+a_2)^2 - 4a_9a_2 \rightarrow a_{10} - a_1 = a_9 - a_2 \Rightarrow \varnothing$

\[ \]

Значит: $k \leq 4$

\[\]

Пример $k=4:$

Лень находить но он есть $:)$

Лучший пример из всех участников получился у Алтынбека Ерасыла:

$\frac{360}{239}>\frac{90}{61}>\frac{9}{8}>\frac{10}{9}>\frac{9}{10}>\frac{8}{9}>\frac{61}{90}>\frac{239}{360}>\frac{1721}{5490}>\frac{6079}{21510}$

Легенда!!!

Шешуі: Келесі сандар тізбегін қарастырайық.

a,a+n,a+2n,...,a+8n, a+9n. a,n жатады Z

1) Қандай да бір екі көбейтінді $(a + n) (a + 7n) = (a + 2n) (a + 4n)$ өзара тең болсын, ендеше $2a = n$, яғни $a<n$, $n= 2$ болса, $a = 1$ олай болса.

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 сандарын аламыз, мұнда $3 \times 15 = 5 \times 9$.

Егер $a(a + 9n) = (a + n)(a + 5n)$ болса, онда бұдан $3a = n$, $a<n$, $n = 3$ болса,

$a = 1$, сондай-ақ, $1,4,7,10,13,16,19,22,25,28$ болады.

$1 \times 28 = 4 \times 7$, $4 \times 28 = 7 \times 16$.

2) $a(a + 8n) = (a + 2n)(a + 3n)$ және $a(a + 9n) = (a + n)(a + 6n)$ жағдайында керісінше, $a = 2n$ және $a = 3n$ болады, яғни $a>n$, $n = 1$ болса, $a = 2$ және $a = 3$.

Алатын сандарымыз: $2,3,4,5,6,7,8,9,10,11$ және $3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$.

Мысалы: $2 \times 6 = 3 \times 4$.

3) $a = n$ жағдайына тоқталайық:

$a(a + 5n) = (a + n) (a + 2n)$,

$a(a + 7n) = (a + n) (a + 3n)$,

$a(a + 9n) = (a + n) (a + 4n)$,

$(a + n) ( a + 5n) = (a + 2n) (a + 3n)$,

$(a + n) ( a + 8n) = (a + 2n) (a + 5n)$,

$(a + n) ( a + 9n) = (a + 3n) (a + 4n)$,

$(a + 2n) ( a + 7n) = (a + 3n) (a + 5n)$,

$(a + 2n) ( a + 9n) = (a + 4n) (a + 5n)$,

$(a +3 n) ( a + 9n) = (a + 4n) (a + 7n)$.

$a$ және $n$ кез келген натурал сан болсын, мысалы $a = n = 7$. Сондай-ақ, $7, 14, 21,28,35,42,49,56,63,70$ сандарын аламыз, сондай,

$7 \times 42 = 14 \times 21$, $7 \times 56 = 14 \times 28$, $7 \times 70 = 14 \times 35$, $14 \times 42 = 21 \times 28$, $14 \times 63 = 21 \times 42$,

$14 \times 70 = 28 \times 35$, $21 \times 56 = 28 \times 42$, $21 \times 70 = 35 \times 42$, $28 \times 70 = 35 \times 56$.

4) Арифметикалық прогрессия болмайтын сандар тізбегін алайық

$2,3,14,22,24,26,28,36,47,48$.

$2 \times 36 = 3 \times 24$, $14 \times 48 = 24 \times 28$. 45 көбейтіндінің ішінде ең көп дегенде белгілі бір екі көбейтінді өзара тең болуы мүмкін.

Жауабы: Әртүрлі екі санның жұбынан тұратын 45 көбейтіндінің ішінде ең көп дегенде белгілі бір екі көбейтінді өзара тең болуы мүмкін және ондай көбейтінділердің саны егер $a = n$ болса, онда 9 – ға тең, яғни ең көп болады.

この問題は、2 つの n×n 行列を乗算するときに乗算の回数を通常の 8 回ではなく 7 回に減らすことができるというストラッセンの定理に関連しています。この定理を適用するには、数値を 5 つのグループに分割し、各グループの数値を掛けます。 したがって、等しい積の最大数は 5 になります。