Математикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып

Егер $a$ және $b$ рационал сандары ${a^5} + {b^5} = 2{a^2}{b^2}$ теңдігін қанағаттандыратын болса, онда $1-ab$ саны рационал санның квадраты болатынын дәлелде.

Комментарий/решение

Произведём замену: $a^2=x$, $b^2=y$

Получим уравнение: $x^2\sqrt{x}-2xy+y^2\sqrt{y}=0$

Дискриминант-

$D=4y^2-4y^2\sqrt{xy}$

Так как уравнение разрешимо в рациональных числах числах, дискриминант является квадратом рационального числа.

$D=4y^2-4y^2\sqrt{xy}=k^2$

$1-\sqrt{xy}=\frac{k^2}{4y^2}=(\frac{k}{2y})^2$

Что и нужно было доказать.

Как вы рассматриваете квадратное уравнение, если коэффициенты в нём не константы?

Решения с сайта artofproblemsolving.com:

artofproblemsolving.com/community/c6h317266p1706339...