Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс

Известно, что все члены бесконечной последовательности $$a-b, a^2-b^2, a^3-b^3, \dots$$ являются натуральными числами. Докажите, что $a$ и $b$ — целые числа.

Комментарий/решение

Так как $a-b \in \mathbb{Z}$ и $a^2-b^2 \in \mathbb{Z}$, то $a+b \in \mathbb{Z}$.

Так как $a+b \in \mathbb{Z}$ и $a^3-b^3 \in \mathbb{Z}$, то $ab \in \mathbb{Z}$.

Так как $a-b \in \mathbb{Z}$ и $a+b \in \mathbb{Z}$, то $2a \in \mathbb{Z}$ и $2b \in \mathbb{Z}$.

Так как $2a \in \mathbb{Z}$ и $2b \in \mathbb{Z}$, то возможны следующие случаи:

1) $a=\cfrac{m}{2}, b=\cfrac{n}{2}$, где $n,m \in \mathbb{Z}$, но тогда $ab \not \in \mathbb{Z}$.

2) $a=\cfrac{m}{2}, b \in \mathbb{Z}$ или $a \in \mathbb{Z}, b=\cfrac{n}{2}$, где $n,m \in \mathbb{Z}$, но тогда $a+b \not \in \mathbb{Z}$.

3) $a \in \mathbb{Z}$ и $b \in \mathbb{Z}$.

Значит $a$ и $b$ - целые числа.

Данное решение не корректно, ведь из того, что $a-b\in \mathbb Z$ и $a^2-b^2\in\mathbb Z$ не следует, что $a+b\in\mathbb Z$, например $a=10/3,b=1/3$

Заметим, что $a+b=\frac{a^2-b^2}{a-b}\in\mathbb Q$.Тогда $a=\frac {(a+b)+(a-b)}{2}\in\mathbb Q$, откуда $b\in\mathbb Q$ Пусть $a=\frac x z$ и $b=\frac y z$, где $x,y,z\in\mathbb Z$ Если $0\in$ { $x,y$ }, то утверждение задачи следует непосредственно. Пуст $x,y\neq 0$, тогда можно считать, что $НОД(x,y,z)=1$.

Если $z\neq 1$,то $\exists p\in\mathbb P$, что $p\mid z$. Из условия получаем, что $$p^n\mid x^n-y^n,\forall n\in\mathbb N\quad (\color{red} 1)$$ в частности $p\mid x-y\implies p\nmid x,y$.

Тогда по теореме LTE:$$v_p(x^n-y^n)=v_p(x-y)+v_p(n)\quad (\color{red} 2)$$

Из $(\color{red} 1)$ и $(\color{red} 2)$ $\implies v_p(x-y)\geq n-v_p(n),\forall n\in\mathbb N$, что невозможно, ведь при достаточно больших $n$ число $n-v_p(n)$ будет "достаточно" большим.(Например при $n=p^m+1$, где $m\in\mathbb N$, $m>v_p(x-y)$)

Значит $z=1$ откуда $a,b$ - целые.