Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс

Задача №1. Дан четырехугольник $PQRS$ вокруг которого можно описать окружность и $\angle PSR = 90^\circ$. $H$ и $K$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $Q$ на прямые $PR$ и $PS$ соответственно. Доказать, что прямая $HK$ делит отрезок $QS$ пополам.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Столбцы и строки таблицы $n\times n$ занумерованы числами от $1$ до $n$. В каждой клетке таблицы записывается одно из чисел $1$ или $-1$.
а) Найдите все $n$, для которых можно записать числа в таблицу так, чтобы произведения чисел любой строки и столбца, с одинаковыми номерами, были различными.
б) Для всех таких $n$ (удовлетворяющих условию а)), определить наименьшее возможное количество чисел, равных $-1$.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть $a$, $b$ и $c$ положительные действительные числа, удовлетворяющие равенству $a^2+b^2+c^2=1$. Докажите неравенство $$ a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt3. $$
комментарий/решение(2)

Задача №4. В стране имеется 14 областных центров и 79 самолетов. Ввиду экономии авиакеросина каждый самолет может летать только между двумя городами, и между любыми двумя городами летает не более одного самолета. Доказать, что пассажир может попасть из любого областного центра в любой другой не более чем с одной пересадкой.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Известно, что все члены бесконечной последовательности $$a-b, a^2-b^2, a^3-b^3, \dots$$ являются натуральными числами. Докажите, что $a$ и $b$ — целые числа.
комментарий/решение(3)

Задача №6. Прямоугольник $5\times n$ можно разбить на фигурки, которые получаются удалением какой-либо угловой клетки прямоугольника $2 \times 3$. Докажите, что $n$ четно.
комментарий/решение(1)

Задача №7. Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность. $A'$, $B'$, $C'$ соответственно середины дуг $BC, CA, AB$. Стороны $BC,CA$, и $AB$ пересекают пары отрезков $(C'A', A'B')$, $(A'B', B'C')$ и $(B'C', C'A')$в парах точек $(M, N)$, $(P, Q)$ и $(R, S)$ соответственно. Докажите, что $MN=PQ=RS$ тогда и только тогда, когда треугольник $ABC$ равносторонний.
комментарий/решение

Задача №8. Для четверки чисел $(a, b, c, d)$ назовем число $(ac-bd)$ — определителем и $(a-c)(b-d)$ — дополнителем. Школьники по очереди выходят к доске и записывают определитель и дополнитель четверки, затем заменяют четверку по следующему правилу. Если на доске была написана четверка $(x, y, z, t)$, то она заменяется на $(x+y, y+z, z+t, t+x)$. Первоначальная четверка целочисленная. Через некоторое количество выходов выяснилось, что сумма определителей равна 1999, а сумма дополнителей 2000. Доказать, что определитель первоначальной четверки отличается от дополнителя последней.
комментарий/решение(1)