Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$ теңдігін қанағаттандыратын теріс емес нақты $a$, $b$ және $c$ сандары берілген. $\dfrac{{{a}^{2}}+bc}{a+b}+\dfrac{{{b}^{2}}+ca}{b+c}+\dfrac{{{c}^{2}}+ab}{c+a}\ge 9$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$$\frac{a^2+bc}{a+b}+\frac{b^2+ca}{b+c}+\frac{c^2+ab}{c+a}=$$

$$=\frac{a^2-b^2+b^2+bc}{a+b}+\frac{b^2-c^2+c^2+ac}{b+c}+\frac{c^2-a^2+a^2+ab}{c+a}=$$

$$=a-b+\frac{b^2+bc}{a+b}+b-c +\frac{c^2+ac}{b+c}+c-a+\frac{a^2+ab}{c+a}=$$

$$=\frac{b^2+bc}{a+b}+\frac{c^2+ac}{b+c}+\frac{a^2+ab}{c+a}=$$

$$=\frac{b(b+c)}{a+b}+\frac{c(a+c)}{b+c}+\frac{a(a+b)}{c+a}\geq$$

$$\geq 3 \sqrt [3]{\frac{b(b+c)}{a+b}\cdot\frac{c(a+c)}{b+c}\cdot\frac{a(a+b)}{c+a}}=$$

$$=3\sqrt[3]{abc}\geq \frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=9$$