Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып

Дөңгелек пішіңді цирк аренасы $n$ әртүрлі прожекторлармен толық жарықтандырылады. Әр прожектор бір дөңес фигураны жарықтандырады. Егер кез келген бір прожекторды өшіріп тастасақ, арена бұрынғыдай толық жарықтандырылып тұра береді, ал кез келген екеуін өшірсек, онда арена толық жарықтандырылмай қалады. Қандай $n$-нің мәндері үшін бұл мүмкін?

Комментарий/решение

Это возможно при любом $n \geq 3$. Впишем в арену правильный $k$-угольник, где $k$ — число различных пар, которые можно составить из $n$ прожекторов, т. е. $k = n(n − 1)/2$. Тогда можно установить взаимно однозначное соответствие между сегментами, отсекаемыми сторонами k-угольника, и парами прожекторов. Пусть каждый прожектор освещает весь $k$-угольник и сегменты, соответствующие парам прожекторов, в которые он входит. Легко проверить, что это освещение обладает требуемыми свойствами.

Книга Прасолова "Задачи по планиметрии"