5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 1 тур

Задача №1. От наименьшего 5-значного числа, которое при делении на 43 дает остаток 25, отняли наибольшее 3-значное число, которое при делении на 51 дает остаток 22. Чему равна полученная разность?
комментарий/решение(3)

Задача №2. В квадрат со стороной 20 вписан круг (см. рис. ниже). Найдите сумму площадей закрашенных частей. В задаче примите число Пи равным 3,14.

комментарий/решение(2)

Задача №3. На рисунке ниже изображена фигура. Найдите площадь этой фигуры, если $AB = 12$.

комментарий/решение(4)

Задача №4. Для некоторой операции $*$ выполнены равенства $3*3 = 3 + 4 + 5$, $5*6 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$. Вычислите значение выражения $(99*5)-(101*4)$.
комментарий/решение(2)

Задача №5. Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 10 часов 22 минут? Если в задаче получили два ответа, то необходимо указать меньшее из них.
комментарий/решение(2)

Задача №6. Известно, что $c = a+b$, $d = c+b$, $e = d+c$, $f=e+d$, $g = f+e$ и $f =8$, $g = 15$. Найдите значение модуля $|a\cdot b|$.
комментарий/решение(2)

Задача №7. Решите уравнение: $1+\frac{4}{2-\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{10}{x}}}}=5.$
комментарий/решение(3)

Задача №8. Девятизначное число $2021\!*\!2022$, в котором цифра посередине заменена звездочкой, делится на 21. Найдите эту цифру, заменённую звездочкой.
комментарий/решение(1)

Задача №9. Дана операция $m*n = m \cdot n +m - 2 \cdot n$. У Армана есть $8*11$ яблок. Он дал Асану $5*3$ яблок, а $\frac{1}{4}$ часть оставшихся яблок дал Айдане. Сколько яблок остается у Армана после этого?
комментарий/решение(1)

Задача №10. Книги на столе пытались связывать в пачки по 7, по 3 и по 5 книг, и каждый раз оставалась одна лишняя. Сколько книг было на столе если известно, что их было не больше 150 и не меньше 10?
комментарий/решение(1)

Задача №11. Пусть $A=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots +\frac{1}{1+2+3+4+\ldots +2021}$. Чему равно значение числа $1011\cdot A$?
комментарий/решение

Задача №12. На рисунке ниже через $X$ обозначено общее количество (выпуклых и невыпуклых) четырёхугольников, а через $Y$ — количество трёхугольников. Вычислите произведение $X \cdot Y$.

комментарий/решение(1)

Задача №13. Асан, Хасан и Жасан решили выяснить, кто из них самый спортивный. Для этого они провели 10 состязаний. Победитель получал 3 балла, занявший второе место — 1 балл, а занявший третье место ничего не получал (в каждом состязании было первое, второе и третье места). В сумме Асан набрал 22 балла, а Хасан — 8 баллов. Сколько баллов набрал Жасан?
комментарий/решение(1)

Задача №14. Вычислите значение суммы $0,\!5x+0,\!6x+0,\!7x+\ldots+4,\!4x$ при $x= 11$.
комментарий/решение(1)

Задача №15. В таблицу, содержащую $N$ столбцов и 100 строк, вписали по строкам натуральные числа от 1 до $100\cdot N$ в порядке возрастания, начиная с первой строки. Число 31 стоит в пятой строке. Укажите номер строки, в которой стоит число 100.
комментарий/решение(1)

Задача №16. Дано число $x$ для которого определены три точки на координатной прямой: $A(20x+21)$, $B(21x+22)$, $C(22x+20)$. Известно, что одна из точек лежит ровно посередине двух других. Найдите сумму всех таких $x$, удовлетворяющие этому условию.
комментарий/решение

Задача №17. Сколько натуральных пар $(x,y)$, с суммой $x+y$ меньше 200, удовлетворяют уравнению $5x=7y$?
комментарий/решение(1)

Задача №18. В один ряд положили 5 коробок. В каждой коробке находится не меньше одного мячика. Два мячика будем называть «соседними», если они находятся в одной коробке или в двух соседних. Известно, что у каждого мячика есть еще 3, либо 7 «соседних» мячиков. Сколько всего мячиков в этих 5 коробках?
комментарий/решение

Задача №19. Заяц и волк соревновались на велосипеде. Колесо велосипеда волка совершает 50 оборотов в минуту и имеет диаметр 1 м, а колесо велосипеда кролика 80 оборотов в минуту и имеет диаметр 0,5 м. За сколько минут волк догонит кролика, если заяц находится на 157 м впереди волка? $(\pi =3,14)$.
комментарий/решение(1)

Задача №20. На доске записали последовательность чисел: 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42. Ученик, сразу поняв закономерность в последовательности, записал еще два следующих члена. Чему равен модуль разности этих двух записанных членов?
комментарий/решение(1)