5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур


Задача №1.  В школе учатся меньше 150 школьников. Известно, что $56\%$ девочек этой школы и $74\%$ мальчиков ходят на кружок логики, а $65\%$ всех школьников ходят на кружок математики. Сколько всего детей учатся в этой школе?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  На доске написано 9 натуральных чисел, каждое из которых имеет 20 цифр, но ни одно из них не содержит цифру 0. Если взять набор цифр в разряде единиц этих чисел (то есть набор последних цифр), то в этом наборе не окажется двух равных цифр. То же самое выполнено для всех наборов остальных разрядов, то есть для набора десяток, соток и т.д. Пусть $S$ — сумма всех этих 9 натуральных чисел. Найдите сумму цифр числа $S$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Существуют ли шесть последовательных натуральных чисел таких, что наименьшее общее кратное (НОК) трех из них на 2021 больше наименьшего общего кратного трёх оставшихся?
комментарий/решение
Задача №4.  Можно ли в клетки таблицы $5 \times 5$ вписать числа 1, 2, 3 (в каждую клетку — одно число) так, чтобы произведения чисел во всех квадратах $2 \times 2$ были различны?
комментарий/решение
Задача №5.  Есть 50 карточек, на них написано число от 1 до 50, каждая по одному разу. Костя и Виталик по очереди берут по одной карточке, пока все карточки не будут разобраны. Костя берет первым и хочет добиться того, чтобы сумма чисел на его карточках делилась на 25. Виталик хочет помешать этому. Сможет ли Костя добиться своей цели?
комментарий/решение