қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс
Задача №1. Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств. Докажите,
что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон
некоторого треугольника.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Назовем раскраску доски $8 \times 8$ в три цвета $\textit{хорошей}$, если в любом
уголке из пяти клеток присутствуют клетки всех трех цветов.
(Уголок из пяти клеток — это фигура, получающаяся из квадрата $3 \times 3$ вырезанием
квадрата $2 \times 2$.) Докажите, что количество хороших раскрасок не меньше,
чем 68.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают описанную
окружность этого треугольника в точках $A_0$ и $C_0$ соответственно.
Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника
$ABC$ параллельно стороне $AC$, пересекается с прямой $A_0C_0$ в точке
$P$. Докажите, что прямая $PB$ касается описанной окружности треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Даны $n > 1$ приведенных квадратных трехчленов $x^2 - a_1x + b_1$, $\dots$, $x^2 - a_nx + b_n$,
причем все $2n$ чисел $a_1$, $\dots$, $a_n$, $b_1$, $\dots$, $b_n$ различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел $a_1$, $\dots$, $a_n$, $b_1$, $\dots$, $b_n$ является
корнем одного из этих трехчленов?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Докажите, что для каждого $x$ такого, что $\sin x \neq 0$, найдется такое
натуральное $n$, что $|\sin nx| \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Через точку пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$
проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон
треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения
окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. При каких натуральных $n$ найдутся такие положительные рациональные,
но не целые числа $a$ и $b$, что оба числа $a + b$ и $a^n + b^n$ — целые?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. У выпуклого многогранника $2n$ граней ($n \geq 3$), и все грани являются
треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится
ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?
комментарий/решение
комментарий/решение