Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2009-2010 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1. Сөреде кез-келген ретте он том энциклопедия тұр, олар 1-ден 10-ға дейінгі сандармен нөмерленген. Егер кез-келген екі томның арасында төрт басқа том бар болса, онда осы екі томның орындарын ауыстыруға мүмкіндік берілген. Томдарды әрқашан нөмерінің өсу ретімен орналастыруға бола ма? ( Д. Храмцов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $B$ және $D$ бұрыштары тең, $CD=4BC$, ал $A$ бұрышының биссектрисасы $CD$ қабырғасының ортасынан өтеді. $AD/AB$ қатынасы қандай шамаға тең болуы мүмкін? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Кез-келген $a$, $b$ және $c$ үшін, $\dfrac{a(b-c)}{b+c}+\dfrac{b(c-a)}{c+a}+\dfrac{c(a-b)}{a+b}=0$ теңдігі тек сонда және сонда ғана, егер $\dfrac{{{a}^{2}}(b-c)}{b+c}+\dfrac{{{b}^{2}}(c-a)}{c+a}+\dfrac{{{c}^{2}}(a-b)}{a+b}=0$ теңдігі орындалғанда орын алатының дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. 100 тиын ішінде 4 жалған тиын бар. Барлық шың тиындардың салмақтары бірдей, жалған тиындардың салмақтары да бірдей, бірақ жалған тиынның салмағы жеңілдеу. Кәсе таразыда екі рет өлшеу арқылы, гірсіз, ең болмаса бір тал шың тиын қалай алуға болады? ( А. Шаповалов )
комментарий/решение(1)

---