қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. Можно ли расставить на ребрах куба 12 натуральных чисел так, чтобы суммы чисел на любых двух противоположных гранях отличались ровно на единицу?
(
Д. Храмцов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Существуют ли такие различные натуральные числа $a$, $b$ и $c$, что число $a+1/a$ равно полусумме чисел $b+1/b$ и $c+1/c$?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Углы треугольника ABC удовлетворяют условию $2\angle A+\angle B = \angle C$. Внутри этого треугольника на биссектрисе угла $A$ выбрана точка $K$ такая, что $BK = BC$. Докажите, что $\angle KBC = 2\angle KBA$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Пусть $n$ — натуральное число, большее 1. У Кости есть прибор, устроенный так, что если в него положить $2n+1$ различных по весу монет, то он укажет, какая из монет — средняя по весу среди положенных. Барон Мюнхгаузен дал Косте $4n+1$ различных по весу монет и про одну из них сказал, что она является средней по весу. Как Косте, использовав прибор не более $n+2$ раз, выяснить, прав ли барон?
(
К. Кноп
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)