Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2012-2013 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1. Гандбол ойынында жеңіске 2 ұпай, тең ойынға 1 ұпай, ал жеңіліске 0 ұпай беріледі. Турнирға 14 гандбол командалары қатысып, әр команда басқа командамен бір реттен ойнаған. Турнир соңында ешқандай екі команда бірдей ұпай жинамағаны белгілі. Алғашқы үштіктегі әр команда, соңғы үштіктегі әр командаға жеңілуі мүмкін бе? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының тең $AB$ мен $CD$ қабырғаларынан $AM=KC$, $BM=KD$ болатындай сәйкесінше $K$ мен $M$ нүктелері алынған. $AM=KC$, $BM=KD$ екені белгілі болса, $AB$ мен $KM$ арасындағы бұрыш, $KM$ мен $CD$ арасындағы бұрышқа тең екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. Тақтада бір жолға қатар келген $n$ сан өсу ретімен жазылған. Әр санның астына сол санның өзінен кіші және 1-ден үлкен бөлгішін жазған. Жазылған бөлгіштер де өсу ретімен орналасқан, қатар келген натурал сандар тізімі болатыны белгілі. Алғашқыда жазылған сандардың әрқайсысы $\dfrac{{{n}^{k}}}{{{p}_{1}}{{p}_{2}}\ldots {{p}_{k}}}$ санынан үлкен екенін дәлелдеңдер, бұл жерде $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_k$ — барлық $n$-нен кіші жай сандар. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. 99 дана дөңгелек үстел бойына отыр. Даналарға олардың 50-і екі түсті қалпақтардың біреуін, ал қалған 49-ы қалған екінші түсті қалпақты киіп алғаны белгілі (бірақ алдын-ала 50 дана да, 49 дана да қандай түсті қалпақ кигені белгісіз). Әр дана басқа даналардың қалпағының түсін көріп, ал өзінің қалпағының түсін көре алмайды. Әр дана бір уақытта (әрқайсысы өз қағазына) өзінің қалпағының түсін жазу керек. Даналар бір-бірімен берген жауаптың ішінде кем дегенде 74 дұрыс жауап болатындай алдын-ала кім қандай жауап жазатыны жайлы келісіп ала алады ма? ( U. Feige )
комментарий/решение(1)

---