Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1989 год


Задача №1.  Пусть $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ — положительные числа, $S = x_1 + x_2 + \dots + x_n$. Докажите, что $$ \left( {1 + {x_1}} \right)\left( {1 + {x_2}} \right) \dots \left( {1 + {x_n}} \right) \leq 1 + S + \frac{{{S^2}}}{{2!}} + \frac{{{S^3}}}{{3!}} + \dots + \frac{{{S^n}}}{{n!}}. $$
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Докажите, что уравнение $6(6a^2 + 3b^2 + c^2) = 5n^2$ не имеет целочисленных решений, отличных от $a = b = c = n = 0$.
комментарий/решение
Задача №3.  $A_1$, $A_2$, $A_3$ — три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой. Для удобства, положим $A_4 = A_1$, $A_5 = A_2$. При $n = 1$, $2$, $3$, $4$, $B_n$ — середина отрезка $A_nA_{n + 1}$, а $C_n$ — середина $A_nB_n$. При $n = 1$, $2$, $3$ прямые $A_nC_{n + 1}$ и $B_nA_{n + 2}$ пересекаются в точке $D_n$, а прямые $A_nB_{n + 1}$ и $C_nA_{n + 2}$ — в точке $E_n$. Найдите отношение площадей треугольников $D_1D_2D_3$ и $E_1E_2E_3$.
комментарий/решение
Задача №4.  $S$ — множество, состоящее из $m$ пар $(a,b)$ натуральных чисел, удовлетворяющих условию $1 \leq a < b \leq n$. Докажите, что существует по крайней мере $\frac{4m(m-n^2/4)}{3n}$ троек чисел $(a,b,c)$ таких, что $(a,b)$, $(a,c)$ и $(b,c)$ принадлежат $S$.
комментарий/решение
Задача №5.  Найдите все функции $f$, определенные на множестве вещественных чисел, такие, что
(1) $f(x)$ строго возрастает;
(2) $f(x) + f ^{-1}(x) = 2x$ для всех вещественных $x$;
где через $f^{-1}$ обозначена функция обратная к $f$.
комментарий/решение(1)