Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2006 год


Задача №1.  Пусть $n$ является натуральным числом. Найдите наибольшее неотрицательное действительное число $f(n)$ (которое зависит от $n$), удовлетворяющее следующему свойству: если $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ — является целым числом для действительных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, то существует $i$, такое что $\left| {{a}_{i}}-\frac{1}{2} \right| \geq f(n)$.
комментарий/решение
Задача №2.  Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде конечной суммы различных целых степеней золотого сечения $\tau =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Здесь под целой степенью золотого сечения $\tau $ понимается число вида ${{\tau }^{i}}$, где $i$ — целое (не обязательно положительное).
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $p\geq 5$ является простым числом и пусть $r$ есть число всевозможных различных способов размещения p шашек на шахматной доске размера $p\times p$ таким образом, что не все шашки лежат на одной строке (но все они могут находиться в одном столбце). Докажите, что $r$ делится на $p^5$. Здесь мы полагаем, что все шашки идентичны.
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть различные точки $A$ и $B$ лежат на окружности $O$ и точка $P$ является серединой отрезка $AB$. Окружность $O_1$ касается прямой $AB$ в точке $P$ и касается окружности $O$. $\ell$ является касательной к окружности $O_1$, отличной от прямой $AB$ и проходящей через точку $A$. $C$ является точкой пересечения прямой $\ell$ и окружности $O$, отличной от точки $A$. Точка $Q$ является серединой отрезка $BC$, а окружность $O_2$ касается прямой $BC$ в точке $Q$ и касается отрезка $AC$. Докажите, что окружность $O_2$ касается окружности $O$.
комментарий/решение
Задача №5.  В цирке есть $n$ клоунов, которые одеваются и гримируются путем выбора из 12 различных имеющихся цветов. При этом каждому клоуну необходимо использовать не менее 5 различных цветов. Однажды директор цирка потребовал, чтобы никакие два клоуна не использовали одинаковый набор цветов, и никакие более чем 20 клоунов не могли использовать любой из цветов одновременно. Найдите наибольшее из возможных значений числа $n$ клоунов, так чтобы требование директора стало возможным.
комментарий/решение(1)
результаты