Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2013 жыл

Есеп №1. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышының $AD$, $BE$ және $CF$ биіктіктері, ал $O$ — оған сырттай сызылған шыңбердің центрі болсын. $OA$, $OF$, $OB$, $OD$, $OC$, $OE$ кесінділері $ABC$ үшбұрышын аудандары өзара тең үш үшбұрыштар жұбына бөлетінін көрсетндер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2.  $\dfrac{{{n}^{2}}+1}{{{[\sqrt{n}]}^{2}}+2}$ саны бүтін болатындай барлық оң бүтін $n$ сандарын табыңыздар. Бұл жерде $[r]$ саны — $r$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3.  Нақты ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{k}}$, ${{b}_{1}}$, ${{b}_{2}}$, $\ldots$, ${{b}_{k}}$ берілген $2k$ сандары үшін ${{X}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{[{{a}_{i}}n+{{b}_{i}}]}$ $(n=1,\text{ }2, \ldots)$ тізбегін анықтайық. Егер ${{X}_{n}}$ тізбегі арифметикалық прогрессия құраса, онда $\sum\limits_{i=1}^{k}{{{a}_{i}}}$ бүтін сан болу керек екенін дәлелдеңдер. Бұл жерде $[r]$ саны — $r$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. $a$ мен $b$ бүтін оң сандар, ал $A$ мен $B$ төменгі шарттарды қанағаттандыратын шекті бүтін сандар жиындары болсын:
(i) $A$ мен $B$ жиындарының ортақ элементі жоқ;
(ii) егер бүтін $i$ саны $A$ немесе $B$ жиынында болса, онда ${i+a}$ саны $A$ жиынында немесе ${i-a}$ саны $B$ жиыныда болады.
Олай болса, $a|A|=b|B|$ екенін дәлелдеңдер. (Бұл жерде $|X|$ — $X$ жиынының элементтер саны.)
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. $ABCD$ $\omega $ шеңберіне іштей сызылған төртбұрыш және $PB$ мен $PD$ $\omega $-ны жанайтындай $P$ — $AC$ түзуіндегі нүкте болсын. $\omega $-ның $C$ нүктесіндегі жанамасы $PD$ түзуін $Q$ нүктесінде, ал $AD$ түзуін $R$ нүктесінде қисын. $AQ$ түзуі $\omega $-мен екінші рет $E$ нүктесінде қиылыссын. $B$, $E$ және $R$ нүктелері коллениар екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---