Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2014-2015 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1.  Найдите три несократимых дроби с числителями и знаменателями, не равными 1, сумма которых — целое число, и сумма дробей, обратных к ним — тоже целое число.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Из натуральных чисел от 1 до 25 Даша выбрала шесть таких, что разность любых двух выбранных чисел кратна 4. Какое наибольшее количество простых чисел могла выбрать Даша?
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Известно, что$ \angle ABM = 40^\circ$, а $\angle CBM = 70^\circ$. Найдите отношение $AB : BM$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Различные неотрицательные числа $a, b, c$ таковы, что $a^2+b^2 = c^2+ab$. Докажите, что $c^2+ab < ac+bc$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №5.  Клетки квадрата $n \times n$ раскрашены в черный и белый цвет с таким условием, что никакие четыре клетки, находящиеся на пересечении двух строк и двух столбцов, не могут быть все одного цвета. Каково наибольшее возможное значение $n$?
комментарий/решение(1)

---