Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2013 жыл

Есеп №1. Бір диірмен 19 центнер бидайды 3 сағатта, екіншісі — 32 центнерді 5 сағатта , ал үшіншісі — 10 центнерді 2 сағатта ұнтақтайды. Олар жұмысты бір уақытта бастап, бір уақытта бітіру үшін 133 тонна бидайды оларға қалай бөліп беру керек.
комментарий/решение

---

Есеп №2.  $a$, $b$ және $c$ сандары үшін $\dfrac{a}{b+c-a}=\dfrac{b}{a+c-b}=\dfrac{c}{a+b-c}$ теңдігі орындалатыны белгілі. $\dfrac{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( a+c \right)}{abc}$ өрнегі қандай мәндер қабылдай алады?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Жазықтықта ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын 13 нүкте берілсін. Төбелері осы нүктелерде жататын 130-дан кем емес теңбүйірлі емес үшбұрыштар бар болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $A{{A}_{1}}$, $B{{B}_{1}}$ және $C{{C}_{1}}$ биіктіктері, ал $A{{A}_{2}}$, $B{{B}_{2}}$ және $C{{C}_{2}}$ — медианалары болсын. Сонда $${{A}_{2}}{{B}_{1}}{{C}_{2}}{{A}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{A}_{2}}$$ сынығының ұзындығы $ABC$ үшбұрышының периметріне тең екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Бүтін сандар жиынында теңсіздіктер жүйесін шешіңдер $\left\{ \begin{gathered} 2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y + 63 < 0, \hfill \\ 3x + y + 3 < 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Нақты $a > 0$, $b > 0$ сандары үшін $8\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{4}}$ теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №7. Дөңгелекшелерде 1, 2, 3, 4, 5, 6 сандары жазылған. Бір жүрісте кез келген екі көршілес (кесіндімен қосылған) жұпты таңдап алып олардың әрқайсысына бірдей бүтін санды қосуға болады (әр қадам сайын ол сан өзгеріп тұруы мүмкін). Осындай амалдармен бірінші сур. сандардан екінші сур. сандарды алуға бола ма?

       

комментарий/решение

---

Есеп №8. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында мына қатынастар орындалады: $\angle DAB=\angle ABC=60{}^\circ $ және $\angle CAB=\angle CBD$. $AD+CB=AB$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---