Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2015 жыл

Есеп №1. Теңдеуді шешіңдер: ${{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}+1}=1$.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. Әртүрлі оң $a$ және $b$ сандары үшін $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}$ теңдігі орындалады. $ab=1$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Натурал $a$, $b$, $c$ сандары $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$ шартын қанағаттандырады. Теңсіздікті дәлелдеңдер: $(a-1)(b-1)(c-1)\geq 8.$
комментарий/решение(3)

---

Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының $AA_1$ және $BB_1$ биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. $X$ және $Y$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $CH$ кесінділерінің орталары. $XY$ және $A_1B_1$ түзулері өзара перпендикуляр екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №5. $f(x) = x^2 - 2x$ болсын. $f(f(x)) < 3$ теңсіздігі орындалатындай барлық $x$-ті табыңдар.
комментарий/решение(5)

---

Есеп №6. Қандай да бір санның цифрларының орындарын алмастырғаннан кейін одан үш есе кем сан шықты. Алғашқы санның 27-ге бөлінетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №7. Теңдікті дәлелдеңдер: $\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}}} + \ldots + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{{2014}^2}}} + \dfrac{1}{{{{2015}^2}}}} = 2015 - \dfrac{1}{{2015}}.$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №8.  Алты тиынның (монета) ішінде бір жалғаны бар және ол нағыз тиыннан ауыр, не жеңіл екені белгісіз. Және де осылардың ішінде бір нағыз тиын бар екені белгілі. Табақшалы таразыда екі рет өлшеп жалған тиынды табу керек.
комментарий/решение(1)

---