Математикадан жасөспірімдер арасындағы 17-ші Балкан олимпиадасы 2013 жыл, Анталья, Турция

Есеп №1. $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ және $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ сандары екеуі де натурал болатындай барлық реттелген $(a,b)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $AB < AC$ болатындай сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген және $O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберінің центрі болсын. $D$ нүктесі $\angle BAD = \angle CAO$ болатындай $BC$ қабырғасынан алынған. $AD$ түзуі екінші рет $\omega$ шеңберін $E$ нүктесінде қияды. $M$, $N$, $P$ нүктелері сәйкесінше $BE$, $OD$ және $AC$ кесінділерінің орталары болсын. $M$, $N$ және $P$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. ${ab\geq 1}$ болатындай барлық оң $a$ және $b$ нақты сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіздер: $\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\geq 16.$
комментарий/решение(4)

---

Есеп №4. $n$ натурал саны берілген. Екі ойыншы Алиса және Боб келесі ойынды ойнайды:
—Алиса кез келген $n$ сан жасырады, әр түрлі болуы міндетті емес;
—Алиса өзіндегі сандардан жұп-жұптан қосындыларын қағазға жазып Бобқа береді(қағазда $\dfrac{n(n-1)}{2}$ қосынды жазылған, әр түрлі болуы міндетті емес);
— Егер қағаздағы Алиса жасырған сандарды Боб тапса, Боб ұтады.
Келесі жағдайлар үшін Боб ұтатынына сенімді болуы мүмкін бе?
a. $n=5$
b. $n=6$
c. $n=8$
Өз жауабыңызды түсіндіріңіз.
[Мысалға, егер $n = 4$, Алиса $1$, $5$, $7$, $9$ сандарын жасырса болады, қосындылары $2$, $4$, $6$, $10$ сандарын береді, бұл жағдайда Боб ұта алмайды. ]
комментарий/решение

---