Математикадан жасөспірімдер арасындағы 18-ші Балкан олимпиадасы 2014 жыл, Охрид, Македония

Есеп №1. $3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26$ болатындай барлық әр түрлі $p$, $q$, $r$ жай сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. $S$ — сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының ауданы болсын. $CD \perp AB$ ($D \in AB$), $DM \perp AC$ ($M \in AC$) және $DN \perp BC$ ($N \in BC$) болсын. $H_1$ және $H_2$ нүктелері сәйкесінше $MNC$ және $MND$ үшбұрыштарының қиылысу нүктелері болсын. $AH_1BH_2$ төртбұрышының ауданын $S$ арқылы өрнектеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $abc=1$ болатындай $a$, $b$, $c$ оң сандары берілген. Теңсіздікті дәлелдеңіздер: $$ \left(a+\dfrac{1}{b}\right)^{2}+\left(b+\dfrac{1}{c}\right)^{2}+\left(c+\dfrac{1}{a}\right)^{2}\geq 3(a+b+c+1). $$
комментарий/решение(5)

---

Есеп №4. Берілген $n$ натурал саны үшін $A$ және $B$ екі ойыншы келесі ойынды ойнайды: $s$ тастан тұратын үйінді берілген. Ойыншылар кезекпен жүріс жасайды, $A$ ойыншысы бастайды. Әрбір ойыншы бір тас ала алады немесе нөлге тең емес не жай сан болатын тас не $n$-ға еселік тас ала алады. Ең соңғы тасты алған ойынша жеңімпаз болып есептелінеді. Дұрыс ойналған жағдайда $A$ ойыншысы ұта алмайтындай $s$ санын табыңыздар.
комментарий/решение

---