46-я Международная Математическая Oлимпиада
Мексика, Мериде, 2005 год


Задача №1.  На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ выбраны шесть точек: ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{2}}$ на $BC$; ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$ на $CA$; ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ на $AB$. Эти точки являются вершинами выпуклого шестиугольника ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{C}_{2}}$, стороны которого имеют равные длины. Докажите, что прямые ${{A}_{1}}{{B}_{2}}$, ${{B}_{1}}{{C}_{2}}$ и ${{C}_{1}}{{A}_{2}}$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение
Задача №2.  Пусть ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$, $\ldots $ — последовательность целых чисел, в которой содержится бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Известно, что для каждого натурального $n$ все $n$ остатков от деления ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$ на число $n$ различны. Докажите, что каждое целое число встречается в этой последовательности ровно один раз.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $x,y,z$ — такие положительные числа, что $xyz > 1$. Докажите, что $\dfrac{{{x}^{5}}-{{x}^{2}}}{{{x}^{5}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{5}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{5}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{5}}-{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{5}}}\ge 0.$
комментарий/решение
Задача №4. ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $ тізбегі төмендегідей анықталған: ${{a}_{n}}={{2}^{n}}+{{3}^{n}}+{{6}^{n}}-1$ ($n=1,2,\ldots $). Осы тізбектің әрбір мүшесімен өзара жай болатын барлық натурал сандарды табыңыздар.
комментарий/решение
Задача №5. $BC$ және $AD$ қабырғалары тең, бірақ параллель болмайтын $ABCD$ дөңес төртбұрышы берілген. $E$ және $F$ нүктелері $BE=DF$ болатындай сәйкесінше $BC$ және $AD$ кесінділеріндегі нүктелер болсын. $AC$ және $BD$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады, $BD$ және $EF$ түзулері $Q$ нкүтесінде, $EF$ және $AC$ түзулері $R$ нүктесінде қиылысады. Барлық $E$ және $F$ нүктелерінен алынатын $PQR$ үшбұрыштарын қарастырайық. Осы үшбұрыштардың барлығына сырттай сызылған шеңберлердің $P$-дан өзге ортақ бір нүктесі бар екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
Задача №6. Математикалық олимпадада оқушыларға 6 есеп берілді. Әрбір есеп жұбы үшін барлық оқушының $\dfrac{2}{5}$ --ден көбі шығарды, бірақ ешкім толық 6 есепті шығармады. Дәл 5 есеп шығарған кем дегенде екі оқушы табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
результаты