Математикадан 46-шы халықаралық олимпиада, 2005 жыл, Мериде

Есеп №1. $ABC$ теңқабырғалы үшбұрышының қабырғаларынан алты нүкте алынған: $BC$ қабырғасында ${{A}_{1}}$ және ${{A}_{2}}$; $CA$ қабырғасында ${{B}_{1}}$ және ${{B}_{2}}$; $AB$ қабырғасында ${{C}_{1}}$ және ${{C}_{2}}$. Бұл нүктелер қабырғаларының ұзындықтары әр түрлі болатын ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{C}_{2}}$ дөңес алтыбұрыштың төбелері болады. ${{A}_{1}}{{B}_{2}}$, ${{B}_{1}}{{C}_{2}}$ және ${{C}_{1}}{{A}_{2}}$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Құрамында оң мүшелері де, теріс мүшелері де шексіз көп кездесетін ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$, $\ldots $ бүтін сандар тізбегі берілген. Әрбір $n$ натурал саны үшін ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$ сандарын $n$ санына бөлгенде пайда болған $n$ бөлгіштер әр түрлі. Бұл тізбекте әрбір бүтін сан дәл бір реттен кездесетінен дәлелеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №3. $xyz > 1$ болатын $x,y,z$ нақты сандар болсын. $\dfrac{{{x}^{5}}-{{x}^{2}}}{{{x}^{5}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{5}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{5}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{5}}-{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{5}}}\ge 0$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №4. ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $ тізбегі төмендегідей анықталған: ${{a}_{n}}={{2}^{n}}+{{3}^{n}}+{{6}^{n}}-1$ ($n=1,2,\ldots $). Осы тізбектің әрбір мүшесімен өзара жай болатын барлық натурал сандарды табыңыздар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. $BC$ және $AD$ қабырғалары тең, бірақ параллель болмайтын $ABCD$ дөңес төртбұрышы берілген. $E$ және $F$ нүктелері $BE=DF$ болатындай сәйкесінше $BC$ және $AD$ кесінділеріндегі нүктелер болсын. $AC$ және $BD$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады, $BD$ және $EF$ түзулері $Q$ нкүтесінде, $EF$ және $AC$ түзулері $R$ нүктесінде қиылысады. Барлық $E$ және $F$ нүктелерінен алынатын $PQR$ үшбұрыштарын қарастырайық. Осы үшбұрыштардың барлығына сырттай сызылған шеңберлердің $P$ -- дан өзге ортақ бір нүктесі бар екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №6.  Математикалық олимпадада оқушыларға 6 есеп берілді. Әрбір есеп жұбы үшін барлық оқушының $\frac{2}{5}$ --ден көбі шығарды, бірақ ешкім толық 6 есепті шығармады. Дәл 5 есеп шығарған кем дегенде екі оқушы табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---