34-я Балканская математическая олимпиада. Орхид, Македония, 2017 год

Задача №1.  Найдите все упорядоченные пары целых положительных чисел $\left( x,y \right)$ такие, что ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{x}^{2}}+42xy+{{y}^{2}}.$
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$ такой, что $AB < AC$ и пусть $\Gamma $ — описанная окружность треугольника $ABC$. Пусть ${{t}_{b}}$ и ${{t}_{c}}$ являются касательными к окружности $\Gamma $ в точках $B$ и $C$ соответственно и пусть $L$ является общей точкой прямых ${{t}_{b}}$ и ${{t}_{c}}$. Прямая, проходящая через $B$, параллельно $AC$ пересекает ${{t}_{c}}$ в точке $D$. Прямая, проходящая через $C$, параллельно $AB$ пересекает ${{t}_{b}}$ в точке $E$. Описанная окружность треугольника $BDC$ пересекает сторону $AC$ в точке $T$, где $T$ лежит строго между $A$ и $C$. Описанная окружность треугольника $BEC$ пересекает прямую $AB$ в точке $S$ таким образом, что $B$ лежит строго между $A$ и $S$. Докажите, что прямые $ST$, $BC$ и $AL$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть $\mathbb{N}$ — множество всех целых положительных чисел. Найдите все функции $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ такие, что для любых $m,n\in \mathbb{N}$ число $f\left( n \right)+nf\left( m \right)$ делится на $n+f\left( m \right)$.
комментарий/решение(5)

---

Задача №4.  Пусть имеется $n$ студентов $\left( n>2 \right)$, которые сидят за круглым столом. Первоначально каждый студент имеет 1 конфету. Далее на каждом шаге каждый студент выбирает одну из двух операций:
a) отдать одну конфету только одному из своих соседей слева или справа;
b) разделить все свои конфеты на две части, возможно пустые, и отдать одну часть соседу справа, а другую соседу слева.
На каждом шаге все студенты осуществляют свой выбор одновременно. Распределение конфет назовем законной, если за конечное число ходов это распределение можно получить из первоначального распределения. Найдите количество законных распределений. (Два распределения конфет считаются различными, если хотя бы у одного студента в обоих распределениях окажется разное количество конфет.)
комментарий/решение

---