қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. При каких значениях $p$, можно замостить квадрат размером $p\times p$ без наложения фигурками вида
?
комментарий/решение(3)
?
комментарий/решение(3)
Задача №2. На доске написаны три целых числа. На каждом шаге стирается одно число и вместо него записывается сумма оставшихся двух, уменьшенное на единицу. После нескольких таких ходов на доске остались числа 17, 75, 91. Могло ли первоначально написанные числа равняться:
а) 2, 2, 2; $\quad$
б) 3, 3, 3?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Окружность $\omega$ касается описанной окружности треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $C$ и касается стороны $AB$ в точке $K$. Докажите, что луч $CK$ делит угол $C$ пополам.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №4. Докажите равенство $$
\frac{{\left( {1^4 + \frac{1}
{4}} \right)\left( {3^4 + \frac{1}
{4}} \right)\left( {5^4 + \frac{1}
{4}} \right) \dots \left( {11^4 + \frac{1}
{4}} \right)}}
{{\left( {2^4 + \frac{1}
{4}} \right)\left( {4^4 + \frac{1}
{4}} \right)\left( {6^4 + \frac{1}
{4}} \right) \dots \left( {12^4 + \frac{1}
{4}} \right)}} = \frac{1}
{{313}}.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. На доске размером $1999\times 1999$ покрашено несколько квадратиков $1\times 1$ так, что на любой строке и на любом столбце имеется ровно один закрашенный квадратик. Докажите, что каждый квадрат $1000 \times 1000$ (на этой доске) содержит хотя бы одну закрашенную клетку.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Для произвольных положительных действительных чисел $a$, $b$, $c$, удовлетворяющих равенству $a+b+c=1$, докажите следующее неравенство:
$$\frac{{a^3 }}
{{a^2 + b^2 }} + \frac{{b^3 }}
{{b^2 + c^2 }} + \frac{{c^3 }}
{{c^2 + a^2 }} \geq \frac{1}
{2}.$$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №8. Дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $\angle ABC = 120^ \circ + \alpha $
($AB=BC$). На стороне $AB$ построен внешним образом равнобедренный треугольник $ADB$
($AD=DB$) и $\angle ADB=\alpha$. Найдите $\angle DCB$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)