Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Кез келген оң нақты $a$ және $b$ сандары үшін $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}\le \sqrt[3]{2(a+b)\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right)}$ теңсіздігі орындалатынын дәледдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. $a!+2002b!=c!$ теңдікті қанағаттандыратын барлық натурал $a$, $b$ және $c$ сандарды табыңдар.
комментарий/решение

Есеп №3. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері бір-бірімен $A$ нүктесінде іштей жанасып тұр ($\omega_1$ шеңбердің радиусы $\omega_2$ шеңбердің радиусынан кіші). $\omega_1$ шеңберге, екі шеңбердің центрлері арқылы өтетін түзуге параллель болатын $l$ жанамасы жүргізілген. $l$ түзуі $\omega_1$ шеңбермен $B$ нүктеде жанасып, $\omega_2$ шеңбермен $C$ және $D$ нүктелерінде қиылысады. $AB$ түзуі $CAD$ бұрыштың биссектрисасы екенін дәледдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Үш мектептің әрқайсысында 200 оқушыдан оқиды. Әрбір оқушының әр мектепте кем дегеңде бір досы бар (егер $a$ оқушысы $b$ оқушысының досы болса, онда $b$ оқушысы да $a$ оқушысының досы деп есептелінеді). 300 оқушыдан тұратын $\sum $ жиыны бар. Бұл жиында кез келген $S$ мектебі және осы мектепте оқымайтын кез келген екі $x,y\in \sum $ оқушылары үшін, $S$ мектебінде оқитын достарының саны өзгеше екені белгілі. Әр түрлі мектептерде оқитын, бір-бірімен дос үш оқушы бар екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №5. Келесі теңдеулер жүйесін оң нақты саңдар жиынында шешіңдер: $\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots+{{x}_{n}}=9, \\ \dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{{{x}_{n}}}=1. \\ \end{matrix} \right.$
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Кез келген нақты $x,y$ сандары үшін $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$ теңдікті қанағаттаңдыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар.
комментарий/решение(5)

Есеп №7. $ABC$ үшбұрышта барлық қабырғалардың ұзындықтары бүтін саңдар және іштей сызылған шеңбердің радиусы 1-ге тең. Осы үшбұрыш тік бұрышты үшбұрыш болып табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №8. 52 ойын картасының тобы берілген. Осы топтың
1) алғашқы екі орында тұрған екі карталардың орындарын алмастыруға немесе
2) бірінші орындағы картасын соңғы орынға қоюға болады.
Осы 1 және 2 операцияларды қолдану арқылы, топтағы карталарды кез келген кезекте орналастыруға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение