қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Теңбүйірлі $ABC$ $\left( AB=BC \right)$ үшбұрышының $BC$ қабырғасының бойынан $D$ нүктесі белгіленген және $A{{D}^{2}}=BD\cdot BC$ $\left( D\ne C \right)$. Онда $AD=AB$ екенін дәледдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Барлық $x,y\in {{\mathbb{N}}_{0}}$ үшін $f(3x+2y)=f(x)f(y)$ шартын қанағаттандыратын барлық $f:{{\mathbb{N}}_{0}}\to {{\mathbb{N}}_{0}}$ функциясын табыңыз. (Мұндағы $f:{{\mathbb{N}}_{0}}\to {{\mathbb{N}}_{0}}$ дегеніміз, $f$ функциясы теріс емес бүтін сандарда анықталып, $f$ функциясының барлық мәні теріс емес оң сан деген мағынаны біддіреді).
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $n$-ның қандай мәндерінде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=n{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}$ теңдеуінің натурал шешімдері бар?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $S=\{1,\ 2, \ldots,\ n\}$ болсын. $\varnothing \subseteq A\subseteq B\subseteq C\subseteq S$ және $|B|=\dfrac{|A|+|C|}{2}$ шартын қанағаттандыратын барлық мүмкін болатын $\left( A,B,C \right)$ үштіктерінің жалпы саны $C_{2n}^{n}$-ке тең екенін дәледдеңіздер. Мұндағы $|X|$ дегеніміз $X$ жиынындағы элементтердің жалпы санын біддіреді, ал $C_{2n}^{n}=\dfrac{(2n)!}{n!n!}$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышы берілген. $\Gamma $ шеңбері $BC$ қабырғасын $P$ нүктесінде жанайды, және $A$ төбесі осы шеңбердің ішінде жатыр. $\Gamma $ шеңбері $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелерінде қияды. $\Gamma $ шеңбері $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеберді тек $MP$ және $NP$ доғалары тең болған жағдайда ғана жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. ${{x}^{2}}+1$ саны $y$-ке, ${{y}^{3}}+1$ саны ${{x}^{2}}$-қа бөлінетіндей барлық $\left( x,y \right)$ жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Халықаралық конференцияда төрт ресми тіл бар, және коференцияға қатысушы кез келген екі адам қандай да бір ортақ тілдің біреуімен сөйлесе алатыны белгілі. Қандай да бір тілді қатысушылардың кем дегенде $60\%$-ы білетінін дәледдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Жазықтықта ұзындықтарының қосындысы бірге тең 2003 кесінді берілген. Осы кесінділерінің проекцияларының қосындысы $2/3$-тен кіші болатындай қандай да бір $l$ түзуі табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)