қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Сравните числа $\dfrac{{\ln 2004}}{{\ln 2005}}$ и $\dfrac{{\ln 2005}}{{\ln 2006}}$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Доказать справедливость неравенства $\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma \leq \dfrac{3\sqrt3}{2}$, где $\alpha, \beta, \gamma$ — внутренние углы некоторого треугольника.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнено $AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$. Найдите угол между сторонами $BC$ и $AD$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Докажите равенство
$
1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + \dots + \left( {n - 1} \right)n^2 = \frac{{n\left( {n^2 - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}}
{{12}}.
$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Исследовать на ограниченность числовую последовательность: $
x_n = 1 + \frac{1}
{2} + \dots + \frac{1}
{n}, (n\geq 1). $
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Докажите для любых положительных чисел $x$ и $y$ неравенство: $x \cdot 2^y + y \cdot 2^{ - x} \geq x + y.$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №7. Найдите первообразную $f\left( x \right) = \dfrac{{x^2 }}{{(x\sin x + \cos x})^2}$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №8. Длины сторон треугольника — неравные между собой целые числа,
а меньшая высота равна 8. Найдите расстояние между центрами описанной
и вписанной в треугольник окружностей.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)