Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс


Задача №1.  Изначально все клетки доски $2021 \times 2021$ белые. Арман и Бахытжан играют в такую игру. Сначала Арман закрашивает $n$ квадратиков в красный цвет. Затем Бахытжан выбирает 1011 строк и 1011 столбцов и перекрашивает все ячейки в выбранных строках и столбцах в чёрный цвет. Арман выигрывает в том случае, если осталась хотя бы одна красная клетка, в противном случае выигрывает Бахытжан. При каком наименьшем $n$ Арман гарантирует себе победу, независимо от того, как будет действовать Бахытжан?
комментарий/решение
Задача №2.  Дан треугольник $ABC,$ в котором $AB=AC+\frac{BC}{2}.$ На стороне $BC$ отметили точки $P,$ $Q$ и $R$ так, что $BP = PQ = QR = RC.$ Прямые $AP$ и $AR$ пересекают серединный перпендикуляр к $PQ$ соответственно в точках $X$ и $Y$. На отрезке $XY,$ как на диаметре, построена окружность $\Omega$. Докажите, что $\Omega$ проходит через точки $B$ и $R.$
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Покажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что $\dfrac{{{8^n} - 1}}{{{n^2} + n + 1}}$ также является натуральным числом.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть $a,$ $b,$ $c,$ $d$ — положительные целые числа такие, что $24a^2 + 2b^2 + 20c^2 + 21d^2 = 24a + 2b + 20c + 21d.$ Найдите наименьшее значение выражения \[A = \sqrt {\frac{a}{{b(24 + 2b + 20c + 21d)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(24a + 2 + 20c + 21d)}}} + \sqrt {\frac{c}{{d(24 + 2b + 20 + 21d)}}} + \sqrt {\frac{d}{{a(24 + 2b + 20c + 21)}}} .\]
комментарий/решение(3)
Задача №5.  Дан остроугольный треугольник $ABC,$ в котором $\angle B < \angle C.$ Пусть $I$ — центр вписанной окружности, $O$ — центр описанной окружности, $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается стороны $BC$ в точке $D,$ и $AO$ параллельна $HD.$ Точка $E$ — точка пересечения прямых $OD$ и $AH,$ точка $F$ — середина отрезка $CI.$ Докажите, что точки $I,$ $O,$ $E$ и $F$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение
Задача №6.  При каких натуральных $n$ число $(n-1)!$ делится на $n^3?$
комментарий/решение(4)