Математикадан аудандық олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1.  Кез-келген $x \in \mathbb{R}$ үшін төмендегі теңдік орындалатындай және коэффициенттері бүтін болытындай барлық $P(x)$ көпмүшесін табыңыз $$16 P(x^2) = \left(P(2x)\right)^2.$$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2.  $a_n$ тізбегі барлық натурал $n$ үшін келесі формуламен берілген $${a_n} = \sqrt {1 + {{\underbrace {99 \ldots 9}_{n \text{ тоғыздық}}}^2} + {{\underbrace {0,99 \ldots 9}_{n \text{ тоғыздық}}}^2}} .$$ $\big\{S\big\}$ санын есептеңіз, бұл жердегі $S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2022}$.
  Мұнда $\{x\}$ — $x$ санының бөлшек бөлігін білдіреді. Мысалы, $\{5,64\ = 5,64 - 5 = 0,64$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3.  Теңбүйірлі $ABC$ ($AB =BC$) үшбұрышының ішінен $P$ нүктесі алынған. $\angle BAC = 30^\circ$, $AP = 2\sqrt{3}$, $BP = 2$, $CP = 2\sqrt{6}$ екені белгілі. $ABC$ үшбұрышының ауданын табыңыз.
комментарий/решение(3)

---