М. Нсанбаев

Есеп №1. Тең қабырғалы $ABCDEF$ алтыбұрышында $\angle A=\angle B=\angle D=\angle E=150^\circ$ және $\angle C=\angle F=60^\circ$ екені белгілі. $AC$ және $BF$ түзулері $O$ нүктесінде қиылыссын. Центрі $O$ болатын $A$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер $CF$ түзуін $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды, мұнда $FP < FQ$. $FP/AB$ қатынасын есептеңіз. ( М. Нсанбаев )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының $BC$ және $AC$ қабырғаларында, сәйкесінше, $D$ және $E$ нүктелері белгіленген. $AD$ және $BE$ түзулері $F$, $DE$ және $CF$ түзулері $K$ нүктесінде қиылысады. $AEF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AB$ және $AK$ түзулерін екінші рет, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $ABQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $BE$ кесіндісін екінші рет $T$ нүктесінде қияды.
a) $T$ нүктесі $EF$ кесіндісінің ортасы екенін дәлелдеңіз.
b) $\angle FPT=\angle QPE$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Нсанбаев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №3. $A$ қаласынан $B$ қаласына белгілі бір тұрақты интервалмен әрқайсысында салмағы 2026 кг күріш бар 2025 жүк көлік шықты, ал $B$ қаласынан $A$ қаласына да дәл сол интервалмен әрқайсысында салмағы 2025 кг тары бар 2026 жүк көлік жолға шықты. Кез келген екі жүк көлік кездескен кезде, олар толығымен жүктерімен ауысады да, кейін осы екі көліктің әрқайсысы кері бұрылып, сапарын жалғастырады. Бірақ жүк ауыстыру барысында әр дақылдан дәл 1 кг жерге төгіліп қалады. Жолға шыққаннан кейін қандай да қалаға ($A$ немесе $B$) жеткен жүк көлік сол қалада қалып, сапарын аяқтайды. Ең соңғы болып сапарын аяқтаған жүк көліктен кейін әр қалада әр дақылдан неше килограмм болады? (Барлық көліктердің жылдамдығы өзара тең, жүк ауыстыру еш уақыт алмайды және қандай да бір сәтте $A$ мен $B$ арасында барлық көлік сапарда болған деп есептеңіз.) ( М. Нсанбаев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4. $O$ және $H$ нүктелері — теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі мен биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $OH$ түзуі $AB$ және $AC$ кесінділерін сәйкесінше $B'$ және $C'$ нүктелерінде қиып өтеді. $AB'C'$ және $ABC$ үшбұрыштарына сырттай сызылған, сәйкесінше, $\Gamma$ және $\Omega$ шеңберлері $S\ne A$ нүктесінде қиылысады. $\Gamma$-ға $A$ нүктесінде жүргізілген жанама $\Omega$-ны $K\ne A$ нүктесінде қияды. $AH$ түзуі $\Omega$-ны $M\ne A$ нүктесінде қияды. $KH$, $BC$ және $SM$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз. ( М. Нсанбаев )
комментарий/решение(3) олимпиада