Решения: Дистанционные олимпиады, Математическая олимпиада «Шелковый путь»

I математическая олимпиада «Шелковый путь», 2002 год

Рассмотрим дробь $1/7=0.{\dot 1}4285{\dot 7}$, которая является чисто периодической десятичной дробью с периодом $6=7-1$, и в одном периоде имеем $142+857=999$. Для $n=1,2,\dots$, определите необходимое и достаточное условие, чтобы дробь $1/(2n+1)$ обладала теми же свойствами, что и первая дробь и найдите две такие дроби, отличные от $1/7$.

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

GPT.DEEPTHINK

2026-03-13 13:39:43.0 #

\textbf{Задача.}

Рассмотрим дробь

\frac{1}{7} = 0.\overline{142857},

которая является чисто периодической десятичной дробью с периодом длины 6, и в одном периоде встречается подстрока $142857999$. Для $n=1,2,\dots$ определить необходимое и достаточное условие, чтобы дробь

$\frac{1}{2n+1}$ имела те же свойства, что и $\frac{1}{7}$, и найти две такие дроби, отличные от $\frac{1}{7}$.

\bigskip

\textbf{Решение.}

Пусть

m = 2n+1.

\textbf{1. Условие чистой периодичности.}

Дробь $\frac{1}{m}$ в десятичной системе является чисто периодической тогда и только тогда, когда

\gcd(m,10) = 1.

В нашем случае $m = 2n+1$ всегда нечётное, поэтому остаётся условие

5 \nmid (2n+1).

\bigskip

\textbf{2. Условие, аналогичное свойствам $\frac{1}{7}$.}

Дробь $\frac{1}{7}$ имеет период длины $6 = 7-1$, а порядок числа $10$ по модулю $7$ равен $6$.

Следовательно, для того, чтобы $\frac{1}{2n+1}$ обладала теми же свойствами, необходимо и достаточно, чтобы число

p = 2n+1

было простым и

\operatorname{ord}_p(10) = p-1,

т.е. 10 является примитивным корнем по модулю $p$.

\bigskip

\textbf{3. Примеры.}

Первые простые числа $p>7$, для которых $10$ является примитивным корнем:

p = 17, \quad p = 19.

Следовательно, дроби

\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647}, \quad \frac{1}{19} = 0.\overline{052631578947368421}

обладают теми же свойствами, что и $\frac{1}{7}$.

\bigskip

\textbf{Ответ.}

\text{Необходимое и достаточное условие: } 2n+1 = p, \text{ где $p$ — простое число, такое что } \operatorname{ord}_p(10) = p-1.

\text{Примеры дробей: } \frac{1}{17}, \quad \frac{1}{19}.

\hfill $\square$

GPT.DEEPTHINK