2-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2002 жыл

Рассмотрим дробь $1/7=0.{\dot 1}4285{\dot 7}$, которая является чисто периодической десятичной дробью с периодом $6=7-1$, и в одном периоде имеем $142+857=999$. Для $n=1,2,\dots$, определите необходимое и достаточное условие, чтобы дробь $1/(2n+1)$ обладала теми же свойствами, что и первая дробь и найдите две такие дроби, отличные от $1/7$.

Комментарий/решение

\textbf{Задача.}

Рассмотрим дробь

\[

\frac{1}{7} = 0.\overline{142857},

\]

которая является чисто периодической десятичной дробью с периодом длины 6, и в одном периоде встречается подстрока \(142857999\). Для \(n=1,2,\dots\) определить необходимое и достаточное условие, чтобы дробь

\(\frac{1}{2n+1}\) имела те же свойства, что и \(\frac{1}{7}\), и найти две такие дроби, отличные от \(\frac{1}{7}\).

\bigskip

\textbf{Решение.}

Пусть

\[

m = 2n+1.

\]

\textbf{1. Условие чистой периодичности.}

Дробь \(\frac{1}{m}\) в десятичной системе является чисто периодической тогда и только тогда, когда

\[

\gcd(m,10) = 1.

\]

В нашем случае \(m = 2n+1\) всегда нечётное, поэтому остаётся условие

\[

5 \nmid (2n+1).

\]

\bigskip

\textbf{2. Условие, аналогичное свойствам \(\frac{1}{7}\).}

Дробь \(\frac{1}{7}\) имеет период длины \(6 = 7-1\), а порядок числа \(10\) по модулю \(7\) равен \(6\).

Следовательно, для того, чтобы \(\frac{1}{2n+1}\) обладала теми же свойствами, необходимо и достаточно, чтобы число

\[

p = 2n+1

\]

было простым и

\[

\operatorname{ord}_p(10) = p-1,

\]

т.е. 10 является примитивным корнем по модулю \(p\).

\bigskip

\textbf{3. Примеры.}

Первые простые числа \(p>7\), для которых \(10\) является примитивным корнем:

\[

p = 17, \quad p = 19.

\]

Следовательно, дроби

\[

\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647}, \quad \frac{1}{19} = 0.\overline{052631578947368421}

\]

обладают теми же свойствами, что и \(\frac{1}{7}\).

\bigskip

\textbf{Ответ.}

\[

\text{Необходимое и достаточное условие: } 2n+1 = p, \text{ где $p$ — простое число, такое что } \operatorname{ord}_p(10) = p-1.

\]

\[

\text{Примеры дробей: } \frac{1}{17}, \quad \frac{1}{19}.

\]

\hfill $\square$