VI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2007 год

Пусть вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ касается стороны $BC$ в точке $K$. Проведем окружность, проходящую через точки $B$ и $C$, и касающуюся $\omega$ в точке $S$. Докажите, что прямая $SK$ проходит через центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$. ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

Пусть $I$ -центр вписанной окружности треугольника, $I_a$ - центр вневписанной окружности, касающиеся стороны $BC$, а $O_a$ - середина $II_a$. Обозначим $X$ - точку пересечения $I_aK$ с вписанной окружностью треугольника $ABC$, $Y$ - середина $KX$, а $Z$ -середина $I_aK$. Очевидно, что $\angle IYK=90^\circ=\angle IYX$, отсюда несложно понять, что точка $Y$ лежит на $(BICI_a)$, и значит $$BK\cdot KC=I_aK\cdot KY=\frac{1}{2}KP\cdot 2ZK=KP\cdot ZK,$$ тем самым, получаем, что точки $P,B,Z$ и $C$ лежат на одной окружности. Также понятно, что $ZO_a$ -серединный перпендикуляр к $BC$, поскольку $ZO_a$ - средняя линия в $\triangle IKI_a$ (то есть $ZO_a\parallel IK$) и $IK\perp BC$. Отсюда заключаем, что касательные к $\omega$ и $\omega$ в точках $K$ и $Z$ параллельны, и это значит, что касательные в точке $P$ к $\omega$ и $\omega`$ одни и теже, значит точки $X$ и $S$ совпадают.