Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2009 год

Докажите, что для любого натурального числа $k$ существует арифметическая прогрессия $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}$, $\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}$, $\dots$, $\frac{{{a}_{k}}}{{{b}_{k}}}$ рациональных чисел, где ${{a}_{i}}$, ${{b}_{i}}$ — взаимно простые натуральные числа, при всех $i=1,\ 2,\ ...,\ k$, и все числа ${{a}_{1}}$, ${{b}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{b}_{2}}$, $\dots$, ${{a}_{k}}$, ${{b}_{k}}$ — различные.

Комментарий/решение

Простенькая задачка. Берем для каждого $k>1$ простые числа $(p,q,r)$ такие что $k<p<q<r$.

Тогда следующая конструкция работает:

$$\dfrac{a_{m+1}}{b_{m+1}}=\dfrac{1}{r}+m\cdot \dfrac{q}{p!}=\dfrac{p!+mqr}{rp!} \quad \forall \ m =0,\dots , k-1$$

Доказательство что оно удовлетворяет условию:

Заметим что $ \left(\dfrac{p!}{m}+qr , ~ r\cdot \dfrac{p!}{m} \right)=1 \quad \forall \ m =1,\dots , k$

Получаем для $k-1 \geq m\geq 1$ несократимую дробь:

$$\dfrac{a_{m+1}}{b_{m+1}}=\dfrac{\dfrac{p!}{m}+qr}{r\cdot \dfrac{p!}{m}}$$

Очевидно что все числа различные:

$$b_2=r\cdot p! > b_3=r\cdot \dfrac{p!}{2} > \dots > b_k=r\cdot \dfrac{p!}{k-1} > b_1=r$$

$$a_2=p!+qr > a_3=\dfrac{p!}{2}+qr > \dots > a_k=\dfrac{p!}{k-1}+qr > a_1=1$$