5-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2009 год

На плоскости выбрана декартова система координат. Точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ лежат на параболе $y=x^2$, а точки $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ лежат на параболе $y=2009x^2$. Точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ лежат на одной окружности, и точки $A_i$ и $B_i$ имеют одинаковые абсциссы при любом $i=1, 2, 3, 4$. Докажите, что $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ также лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Общее уравнение окружности $x^2+y^2+Ex+Fy+C=0$ и так как $y=ax^2$ то подставив туда $a^2x^4+x^2(1+Fa)+Ex+C=0$ уравнение четвертой степени, по теореме Виета сумма корней, значит абсцисс равна $A_1+A_2+A_3+A_4=0$ условие того что точка лежит на параболе и окружности одновременно, но по условию $A_{i}=B_{i}$ значит $B_1B_2B_3B_4$ так же вписанный