Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2008 жыл

$ABC$ үшбұрышында $AB\ne AC$. $BM = CN$ болатындай $AB$ және $AC$ қабырғаларынан $M$ және $N$ нүктелері сәйкесінше белгіленген. $AMN$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбері $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберімен $D\ne A$ нүктеде қиылысады. $DM = DN$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Это простой лемма о воробье, точка $M$ будет серединой дуги $BC$ содержащая точку $А$.

Возьмём середина большей дуги $BC—D' \Rightarrow CD'=BD'$ по условию $CN=BM, BAD'C$ вписанный $\Rightarrow \angle ABD'=\angle D'CA \Rightarrow$ по | признаку $\triangle D'BA=\triangle D'CA \Rightarrow ND'=MD', \angle D'NC= \angle D'MB \Rightarrow \angle D'NA=\angle D'MA \Rightarrow AD'CB$ вписанный а т.к. окружности пересекаются только в двух точках $\Rightarrow D' \equiv D \Rightarrow DM=DN$ так как треуголники равны.