Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2009 год

При каких натуральных $n$ существует целое число, квадрат которого равен ${{n}^{3}}-32{{n}^{2}}+n$?

Комментарий/решение

$k^2 = n^3 - 32n + n = n(n^2 - 32n + 1)$

$При\ n \ne 1,\ множители\ взаимно\ просты$

$Значит,\ каждый\ множитель\ —\ это\ полный\ квадрат$

$n^2 - 32n + 1 = (n - 16)^2 - 255 = m^2$

$(n - m - 16)(n + m - 16) = 255$

$Учитывая,\ что\ n\ —\ тоже\ полный\ квадрат,\ и\ перебирая\ случаи,$

$Получаем\ единственное\ значение:\ n = 144$