47-я Международная Математическая OлимпиадаСловения, Любляна, 2006 год

Найдите все пары $\left( x,y \right)$ целых чисел такие, что $1+{{2}^{x}}+{{2}^{2x+1}}={{y}^{2}}.$

Комментарий/решение

С. В. Буфеев. Коллекция задач по арифметике целых чисел.

№ 5.107 есеп.

{Ответ: $(x,y)=(0,2); (0,-2); (4,23); (4,-23)$

Заметим, что если пара чисел $(x,y)$ является решением, то $(x,-y)$ также является решением, а также $x$ очевидно неотрицателен. Если $x=0$, то получим, что $y=2$.

Теперь Б.О.О $y\geq0$. Переставляя елементы получим

$$2^x(2^{x+1}+1)=(y-1)(y+1)$$

Теперь заметим, что $x\geq3$. Оба чисел y-1, y+1 будут четными но только одно из них будет делится на 4. Значит мы можем представить число $y$ в виде $y=2^{x-1}m+t$ где $m$ нечетное и $t=\pm1$. Теперь уравнение превращается в:

$$2^x(2^{x+1}m+1)=(2^{x-1}m+t)-1=2^{2x-2}m^2+2^xmt$$ или же

$$2^{x+1}+1=2^{x-2}m^2+mt \Longrightarrow 1-mt=2^{x-2}(m^2-8)$$

i) $t=1$ Тогда получим что $m=1$ а это очевидно не работает

ii)$t=-1$ Тогда получим:

$$1+m=2^{x-2}(m^2-8)\geq 2(m^2-8)$$

Значит $2m^2-m-17\leq 0$ следовательно $m\leq 3$. $m=1$ не подходит, значит $m=3$ Подставляя получим $x=4$, $y=\pm23$. Значит единственные ответы это $(x,y)=(0,2); (0,-2); (4,23); (4,-23)$

Если $x<0$ тогда $RHL$ не целое что не возможно. Если же $x=0$ тогда $y= \pm 2$. Значит $x>0$. Проверяем $x=1,2$ не возможно значит $x>2$.

Заметим что $V_2(LHS)=x=V_2(y-1)+V_2(y+1)$ отсюда выходит два случая:

$1)$

$y-1=2^{x-1}m, y+1=2k$ =>> $k=2^{x-2}m+1$ и $km=1+2^{x-1}$ =>>$ 2^{x-2}m^2+m=1+2^{x+1}$ =>> $2^{x-2}=\frac{m-1}{8-m^2}$ так как левая часть положительная значить $2 \geq m$ проверив $m=1, m=2$ выходит что этот случай не возможен.

$2)$

$y+1=2^{x-1}m, y-1=2k$ и аналогично первому случаю выходит что $k=2^{x-2}-1$ и $2^{x-2}=\frac{m+1}{m^2-8}$ откуда $m=3, x=4 , y=\pm 23$.