Математикадан 49-шы халықаралық олимпиада, 2008 жыл, Мадрид

$BA\ne BC$ болатын $ABCD$ дөңес төртбұрышы берілсін. $ABC$ және $ADC$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді сәйкесінше ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ деп белгілейміз. $BA$ кесіндісінің жалғасын $A$ нүктесінде, $BC$ кесіндісінің жалғасын $C$ нүктесінде, ал $AD$ және $CD$ түзулерін жанайтындай $\omega $ шеңбері кездеседі деп есептейік. ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ шеңберлеріне жүргізілген сыртқы ортақ жанамалар $\omega $ шеңберінің бойында қиылысатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $\omega_1 \cap AC=E$ и $\omega_2 \cap AC=F$. А $E’, F’$ отметим как диаметрально противоположные точки точкам $E,F$.

Так как $2CE=CB+AC-AB$ тогдa не сложным счетом отрезков можно понять что $CE=AF$. Значит $F$ точка касание $B$-вневписанной окружности и аналогично $E$ точка касание $D$-вневписанной. Отсюда по задаче $IMO$ $1992$ $P4$ можно понять что $B-E’-F, D-F’-E$ колинеарны. Заметим то $E’E||FF’$ отсюда $EF’ \cap FE’=Z$ где $Z$ и есть пересечение общих внешних касательных .

Пусть прямая паралельная $AC$ проходящая через $Z$ пересекает $AB,BC$ в точках $A_1, C_1$ а $AD, DC$ в точках $A_2, C_2$. При гомотетии с центром $B$ переводящая $AC$ в $A_1C_1$ , переводит $F$ в $Z$. А так как $F$ точка касание $B$-вневписанной окружности значит $Z$ точка касание $B$-вневписанной для $BA_1C_1=\omega_3$. Аналогично совершив такую же гомотетию с центром $D$ можно понять что $K$ точка касание $D$-вневписанной для $DA_2C_2=\omega_4$.

По теореме монжа для $\omega, \omega_3, \omega_4$ выходит что $B-D-K$ колинеарны что не возмонжно отсюда $\omega= \omega_3= \omega_4$

Пусть $\omega_1, \omega_2$ касаются $AC$ в точках $E,F$. Также обозначим $T$ точку касание из прямой паралельной $AC$, и пусть она пересекает $BA,BC$ в точках $A’,C’$. Тогда по DDIT для $T[ABCD]$, пары $(TA,TC), (TB,TD), (TA’,TC’)$ меняются и проекцируя на $AC$, существует инволюция которая меняет местами $(A,C), (E’,F’)$ и две точки на бесконечности ($E’=TD \cap AC, F’=TB \cap AC$). Так как две точки на бесконечнечности меняются местами значит эта инволюция это отражение относительно середины $AC$. То есть $AE’=CF’$, но по гомотетии $AE=CF’$ отсюда $E=E’$ и $F’=F$ что доказывает задачу

Худший

Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек❤️

жанатбек аби вы вернулись

НУ ПРОСТИ ПОЖАЛУЙСТА

қое

абуголик

Аби❤️

ул

хватит комментить на матоле уже

ох