Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2002 год

Существует ли квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, все значения которого в натуральных точках — натуральные степени двойки? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Предположим, что $f(x)=ax^2+bx+c$ - данный трехчлен. Заметим, что $a>0$ (это очевидно, так как при больших $x$ значения трехчлена не могут быть отрицательными).

Тогда при достаточно больших значениях аругмента, верно что, $f(n+1)>f(n)$. Учитывая что, обе части данного неравенства натуральные степени двойки, имеем что, $f(n+1)\geq 2f(n)$, то есть

$$a(n+1)^2+b(n+1)+c\geq 2an^2+2bn+2c \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a(n^2+2n+1)+bn+b+c\geq 2an^2+2bn+2c\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow an^2+(b-2a)n+(c-(a+b)\leq 0,$$ $ но квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом должен принимать положительные значения при достаточно больших $n$, тем самым получаем противоречие.