Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2006 год

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в точке $K$. Описанная окружность треугольника $KMC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $P$, а описанная окружность треугольника $AMK$ пересекает продолжение стороны $BA$ в точке $Q$. Докажите, что $PQ > AC$. ( А. Смирнов )

Комментарий/решение

Не смог загрузить изображение

Для начала докажем, что $PMQ$ - прямая. Продлим $QM$ до пересечения с $BC$ в точке $P'$, рассмотрим для четырехсторонника $CBQP'$ точку Микеля - это точка $K$, ведь $K$ лежит на описанных окружностях $\triangle CBA$ и $AMQ$, тогда $PMKC, P'MKC$ - вписанные четырехугольники, $\Rightarrow P=P'$. Заметим, что $\angle BKC=\angle BAC=\alpha, \angle BPM=180-\angle MPC=\alpha, \Rightarrow \triangle BPQ \sim \triangle BAC, \Rightarrow PQ/AC=BP/AB>1 (!)$. $MC>MP$, ведь $180-\alpha >180-\alpha-\beta$, то есть $AM>MP, \Rightarrow BP>AB$, Ч.Т.Д.

Несложным счетом углов убедимся, что точки $P,Q$ и $M$ лежат на одной прямой. Из вписанностей $KMAQ$ и $ABCK$, получим, что $\angle AQP=\angle AQM=\angle AKM=\angle ACP$, тем самым, точки $A,P,C$ и $Q$ лежат на одной окружности. Теперь рассмотрим степень точки $M$ относительно $(APCQ)$: $$pow_{(APCQ)} M=PM\cdot QM=AM\cdot CM=AM^2.$$ Согласно неравенству между средним арифметическим и среднем геометрическом получим, что $$PQ=PM+MQ=2\sqrt{PM\cdot MQ}=2AM=AC.$$$$