Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2007 жыл

$600\times 600$ шаршысы, 4 тордан тұратын (сурет) түріндегі фигураларға бөлінген. Алғашқы екі фигура түріндегі фигураларда, $k$ осы тор орналасқан баған нөмірі болатындай, ${{2}^{k}}$ саны жазылған. Барлық жазылған сандардың қосындысы 9-ға бөлінетінін дәлелдеңіз. ( Ф. Бахарев )

Комментарий/решение

Раскраска: Запишем в каждую клетку доски число $2^{n+2}$, где $n$ $-$ номер столбца, в котором находится эта клетка.

Тогда можно заметить что если $T$ сумма изначальных чисел в нашей доске, то mod 9 оно не изменилось. Отсюда следует, что

$$T \equiv 600(2^3+2^4+\dots+2^{602}) \equiv 0 \pmod{9}$$

ч.т.д.