Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2013 год

Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$, в котором $AC\parallel DF$, $BD\parallel AE$ и $CE\parallel BF$. Докажите, что $AB^2+CD^2+EF^2=BC^2+DE^2+AF^2$.

Комментарий/решение

С помощью теоремы Карно решается...

Пусть перпендикуляры, проведенные из точек $B,D$ и $F$ к прямым $AC,CE$ и $AE$ соответственно, пересекаются в точке $H$, которая является ортоцентром треугольника $BDF$. Отсюда верно, что $$\begin{gathered}AB^2-BC^2=HA^2-HC^2,\\CD^2-DE^2=HC^2-HE^2, \\EF^2-AF^2=HE^2-HA^2, \\\end{gathered}$$ сложив эти равенства получим, что $$AB^2-BC^2+CD^2-DE^2+EF^2-AF^2=0 \Leftrightarrow AB^2+CD^2+EF^2=BC^2+DE^2+AF^2.$$