Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2014 год

Даны три различных простых числа. На какое наибольшее количество из них может делиться их сумма? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Ответ: 2. Пример: 2, 3, 5 .

Допустим даны три простых числа $p, q, r, p>q>r$, и $p\mid p+q+r, q\mid p+q+r, r\mid p+q+r $. Так как они взаимно простые числа с друг другом $p*q*r \mid p+q+r$. $$\rightarrow 3*p \geq p+q+r \geq p*q*r$$

$$\rightarrow 3\geq q*r$$. А это невозможно.

Ну пусть это p,g,r Б.О.О

p|p+g+r p|g+r

Заметим что если g,r большие 2 простые числа при этом простых чисел бесконечно то сумма g+r возрастает бесконечно и будет четным тогда можно взять что р=2 отсюда 2|g+r=pn n найбольшее число и можно сказать настолько что его не существует