Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 8 класс

Найдите все двузначные натуральные числа, равные сумме произведения своих цифр и их суммы. Примечание: таким числом является, например, $19=1 \cdot 9+1+9$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Все двузначные числа, оканчивающиеся на 9.
Решение. Пусть $y$ искомое число, записываемое цифрами $a$ и $b$, то есть $y=\overline{ab}$ ($a\ne 0$). Тогда \[\overline {ab} = 10a + b = a \cdot b + a + b \quad \Leftrightarrow \quad 9a = a \cdot b \quad \Leftrightarrow \quad b = 9.\]

$\overline{ab} = ab + a + b$

$10a + b = ab + a + b$

$9a = ab$ $\Rightarrow$ $b = 9$

И значит легко рассмотря все случаи в котором последняя цифра $9$ узнаем что ответ : Все двузначные числа, оканчивающиеся на $9$.