1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига

Дан прямоугольный треугольник с углами $\angle A=90^\circ$ и $\angle C=30^\circ$. Обозначим через $\Gamma$ окружность, проходящую через точку $A$ и касающуюся отрезка $BC$ в его середине. Пусть $\Gamma$ пересекает отрезок $AC$ в точке $N$, а описанную окружность $\triangle ABC$ во второй раз точке $M$. Докажите, что $MN \perp BC$.

Комментарий/решение

$$\triangle AOC: AO=OC=R\Rightarrow \angle OCA=\angle OAC=30^o$$

$$\angle OAC=\angle OAN=30^o\Rightarrow \angle NOC =30^o$$

$$ \angle NOC +\angle NOK=90^o\Rightarrow \angle NOK=60^o$$

$$ OK=NK=MK \Rightarrow \angle ONK = \angle MNK =60^o\Rightarrow \angle SNO=60^o$$

$$\angle SNO+\angle SON=90^o \Rightarrow \angle OSN=90^o \Rightarrow MN \bot BC$$

Так как $Γ$ касается $BC$, то середина $ΑΝ$ центр $Γ$. Симметрия относительно серпера к $BC$ дает что $A$ и $M$ симметричны, значит $AB=CM$, то есть $AM\parallel BC$. $AN$ диаметр $Γ$, значит $AM\bot MN$, то есть $BC\bot MN$

Обозначим через $K$ середину $BC$, проведем $MK$, $AK$ $= \frac{BC}{2}$, обозначим $\angle{MNA} = \alpha$, $\angle{MKA} = \alpha$, $\bigtriangleup AKD$ - равносторонний, $\angle{KAB} = 60$, так как K середина окружности описанной около треугольника ABC, $\Rightarrow MK=AK, AMK$ равносторонний $\Rightarrow \alpha = 60, MN \bot BC$

$Пусть середина отрезка \( BC \) — точка \( O_1 \), а центр окружности \( \Gamma \) — точка \( O \). $

$Тогда выполняется:$

$CO_1 = O_1B = AB = O_1B,$

$а также \( O_1O_2 = O_2M \). Отсюда следует, что$

$\angle BO_1A = \angle O_1BA = \angle O_1AB = 60^\circ.$

$Так как \( O_2O_1 \perp CB \), имеем:$

$\angle O_2O_1A = 30^\circ = \angle O_1AC = \angle BCA.$

$Пусть пересечение прямых MN и BC — точка \( H \).$

$Тогда:$

$\angle HNA = 60^\circ = \angle MNA.$

$Из вписанности углов получаем:$

$\angle O_2O_1M = 30^\circ = \angle O_2MO_1 = \angle O_1MN = \angle O_1AC.$

$Теперь вычислим сумму углов для четырёхугольника \( ANHO_1 \):$

$\angle O_1AN = 30^\circ, \qquad$

$\angle ANH = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ, \qquad$

$\angle AO_1H = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ.$

Тогда:

$\text{Сумма углов: } 120^\circ + 120^\circ + 30^\circ + \angle O_1HM = 360^\circ.$

Отсюда:

$\angle O_1HM = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ.$

$\boxed{\text{Ч.Т.Д.}}$